The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
__ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:U11:U12:isNePal

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a____, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
__ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:U11:U12:isNePal

Generator Equations:
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a____

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
a____(mark(nil), mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0))) →_R^Ω(1)
a____(nil, mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0))) →_IH
a____(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0)) →_R^Ω(1)
mark(nil) →_R^Ω(1)
nil

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
__ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:U11:U12:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a____

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a____.

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
__ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:U11:U12:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(12) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(13) BOUNDS(n^1, INF)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__U11(tt) → a__U12(tt)
a__U12(tt) → tt
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → a__U11(tt)
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__U11(X) → U11(X)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
__ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal → __:nil:tt:U11:U12:isNePal
hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:U11:U12:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(15) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(16) BOUNDS(n^1, INF)